Признаки сходимости Абеля и Дирихле
Пример 1.  Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Решение.  Очевидно, что этот интеграл расходится при  p ≤ 0. Поэтому в дальнейшем будем считать, что  p > 0.
Определим функции  f(x)  и  g(x)  соотношениями
Эти функции удовлетворяют условиям Дирихле, а именно: первообразная синуса является ограниченной функцией; функция    монотонно стремится к нулю при  x → +∞. Следовательно, при  p > 0  интеграл от произведения этих функций сходится на указанном промежутке.
Если  0 < p ≤ 1, то рассматриваемй интеграл сходится и при  A = 0, поскольку в этом случае точка  0  не является особой.
***
Пример 2.  Несобственный интеграл
сходится при  p > 0, поскольку функции
удовлетворяют условиям Дирихле.
***
Пример 3.  Показать, что интеграл
сходится.

Решение.  Обратимся к примеру 1 и положим  p = 1. Тогда нижний предел интегрирования можно выбрать равным 0, потому что подынтегральная функция в этом случае имеет конечный предел при  x → 0.
***
Пример 4.  Показать, что интеграл
расходится.

Решение.  Предположим, что этот интеграл сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и интеграл
,
поскольку и  A > 0.
Представим последний интеграл в виде
и прибавим к нему сходящийся интеграл
(см. Пример 2). В результате мы получаем  p-интеграл
который согласно сделанноиу предположению должен быть сходящимся. Возникшее противоречие доказывает исходное утверждение.
***
Пример 5.  Исследовать на сходимость несобственный интеграл
в зависимости от значений параметра  p > 0  (A> 1).

Решение.  Представим подынтегральную функцию в виде

.
Интеграл от первого члена в правой части этого равенства
сходится для всех значений  p > 0 (см. Пример 1) и, таким образом, интегралы    и    сходятся или рассходятся одновременно.
Рассмотрим интеграл    и выполним оценку его подынтегральной функции.

  1. Оценка со стороны больших значений:
    .
    Поскольку
    ,
    то интеграл    сходится при  p > 1/2.
    Тогда по признаку сравнения при  p > 1/2  сходится и интеграл  , что влечет за собой сходимость интеграла  .

  2. Оценка со стороны меньших значений:

    .
    Интеграл от    ведет себя так же, как интеграл от  , то есть сходится. Однако интеграл от    расходится при  p ≤ 1/2.
    Следовательно, интеграл    расходится, если  p ≤ 1/2.
Закрыть окно