Признаки сравнения
Пример 1.  Сходимость интеграла    проверяется непосредственным вычислением:
***
Пример 2.  Интеграл   расходится, поскольку    при    и интеграл    расходится.
***
Пример 3.  Исследовать на сходимость интеграл  

Решение.  Заметим, что  ln x< x  при  . Тогда
Следовательно, данный интеграл сходится.
***
Пример 4.  Вычислить несобственный интеграл

Решение.  Заметим, что этот интеграл нельзя представить в виде разности
двух интегралов – по причине расходимости каждого из них. В таких случаях бесконечный предел нужно заменить параметром, сводя тем самым проблему вычисления несобственного интеграла к стандартной проблеме вычисления определенного интеграла. На заключительной стадии нужно выполнить предельный переход, устремив значение параметра к бесконечности.

Тогда
***
Пример 5.  Вычислить несобственный интеграл

Решение.  Очевидно, что при  k ≥ 0  интеграл расходится. Если же  k < 0, то
***
Пример 6.  Исследовать на сходимость интеграл

Решение.  При  x > 1  выполняется неравенство  . Тогда из сходимости интеграла    вытекает сходимость данного интеграла.
Закрыть окно