Если умножение матрицы A на вектор-столбец X оводится к умножению этого вектора на число λ, то говорят, что вектор X является собственным вектором матрицы A. Соответствующее число λ называется собственным значением матрицы A.
|
|
| Собственные значения и собственные векторы матрицы |
|
|
|
|
|
Задача на собственные значения матрицы формулируется следующим образом. Пусть A - квадратная матрица n-го порядка, X - вектор-столбец, λ - число. Тогда любой ненулевой вектор X, удовлетворяющий уравнению
Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы A. Матричное уравнение (1) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора X :
Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение, если определитель коэффициентной матрицы равен нудю. Другими словами, необходимымое и достаточное условие разрешимости системы (2) описывается уравнением
Выражение в левой части равества (3) является функцией относительно λ и представляет собой многочлен, степень которого равна порядку матрицы A. Корни этого многочлена образуют спектр матрицы A. Очевидно, что существует хотя бы один собственный вектор, соответствующий каждому собственному значению λ. Также очевидно, что собственные значения треугольной матрицы совпадают с ее диагональными элементами.
|