Обобщенное правило Крамера (примеры)  

1.  Дана система линейных уравнений,

Установить соотношения между параметрами  a,  b  и  c, при которых система является несовместной.

Решение.  Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к ступенчатой форме:



Если ,  то система является несовместной. В противном случае одна из неизвестных является свободной переменной и, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

***

2.  Система линейных уравнений задана расширенной матрицей, представленной в приведенно-ступенчатой форме:

Выяснить сколько решений имеет эта система.

Решение.  Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы и совпадает с числом  неизвестных. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение – согласно следствию из обобщенного правила Крамера.

***

3.  Выяснить сколько решений имеет система линейных уравнений, заданная расширенной матрицей

при различных значениях параметра  a.

Решение.  Если , то , тогда как . В этом случае система является несовместной и не имеет решений.

Если  a = 0, то , что меньше числа неизвестных, количество которых равно 4. Тогда одна из неизвестных должна рассматриваться как свободный параметр, и при этом система имеет решение при любых значениях этого параметра.

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.