Обобщенное правило Крамера

Обобщенное правило Крамера

Другое общепринятое название соответствующей теоремы, обсуждаемой в данном разделе - теорема Кронекера-Капелли.

Теорема устанавливает условие совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема. Необходимым и достаточным условием совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

является равенство между собой рангов коэффициентной A и расширенной

матриц.

В русско-язычной литературе на эту теорему ссылаются как на теорему Кронекера-Капелли.

Следствия.

Если и совпадает с числом n неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.
Если , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

Доводы:

Первое утверждение по сути представляет собой просто другую формулировку правила Крамера.

Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц означает совместность системы уравнений (1). При этом число устанавливает количество базисных переменных, тогда как остальные (n - r) переменные играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения.

Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует свое решение.