Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.
Правило Крамера. Пусть матричное уравнение
описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой
|
|
(2) |
|
где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:
|
|
(3) |
|
Доказательство теоремы разобъем на три части:
-
Решение системы (1) существует и является единственным.
-
Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
-
Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).
Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:
|
|
(4) |
|
Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.
Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).
Используя формулу (4), получим выражение для i-го элемента. Для этого нужно умножить i-ую строку матрицы
на столбец B.
Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:
|
|
(5) |
|
Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,
|
|
(6) |
|
Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения
|
|
(7) |
|
влекут за собой матричное уравнение (1).
Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:
|
|
(8) |
|
Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:
|
|
(9) |
|
Согласно Лемме 1,
|
|
(10) |
|
где – дельта символ Кронекера.
Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:
|
|
(11) |
|
|