Правило Крамера  

      Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

      Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

  AX = B (1)
описывает систему  n  линейных уравнений с  n  неизвестными.

      Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

  (2)

где ;  – определитель, полученный из определителя  D  заменой   i-го столбца столбцом свободных членов матрицы  B:

  (3)

Доказательство теоремы разобъем на три части:
  1. Решение системы (1) существует и является единственным.
  2. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
  3. Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

      Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
      Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

  (4)

      Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

      Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

      Используя формулу (4), получим выражение для  i-го элемента. Для этого нужно умножить  i-ую строку матрицы

 на столбец  B.

      Учитывая, что  i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

  (5)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам  i-го столбца и, следовательно,

  (6)

      Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения
  (7)
влекут за собой матричное уравнение (1).

      Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу  i:

  (8)

      Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

  (9)

      Согласно Лемме 1,

  (10)

где  – дельта символ Кронекера.

      Учитывая, что дельта символ  снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

  (11)