Теорема о структуре общего решения системы линейных уравнений  
Теорема. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений

  AX = B  (1)  

может быть представлено в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы

  AX = 0  (2)  

и любого частного решения неоднородной системы (1).

Доказательство. Пусть матрица  X0   является общим решением однородной системы (2):

  AX0 = 0.  (3)  

Обозначим символическим выражением  X ч  частное решение неоднородной системы (1):

  AXч = B.  (4)  

Складывая тождества (3) и (4), получам тождество

  A ( X0 + Xч ) = B,  (5)  

справедливое при любых значениях свободных параметров, входящих в общее решение  X0 .

Следовательно, матрица  X0 + Xч  является общим решением матричного уравнения (1).