Примеры


	Однородные системы линейных уравнений

1. Решить систему уравнений

методом Гаусса.

Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:

Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например,

следует рассматривать как свободный параметр.
Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение

и выразить базисные неизвестные

через c.

Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Из последнего уравнения следует, что

.
Выразим остальные базисные переменные:

Таким образом, общее решение системы найдено:

Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем

Проверка: Подставим неизвестные

в уравнения системы:

Уравнения обратились в тождества.

***

2. Пусть .

Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0.

Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:

Поскольку

, а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая

, получаем уклрлченную систему уравнений

решение которой имеет вид

, .

Запишем общее решение

и представим его в виде линейной комбинации частных решений:

Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа

то говорят, что частные решения

образуют фундаментальную систему решений.

В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения и .

***

3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид

Очевидно, что

и поэтому частные решения

образуют фундаментальную систему решений.

***

4. Дана матрица . Решить однородную систему линейных уравнений AX = 0.

Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду:

Соответствующая система

имеет только тривиальное решение