Метод Гаусса  
      Основная идея метода Гаусса при решении системы линейных уравнений заключается в следующем:
  1. Системе линейных уравнений ставится в соответствие матрица, элементарные преобразования которой эквивалентны преобразованиям системы уравнений.
    В результате таких преобразований матрица, соответствующая равносильной системе уравнений, имеет более простой вид и, следовательно, более простой вид принимают уравнения системы.


  2. Целью таких преобразований является получение матрицы с максимально возможным числом нулевых элементов, что означает исключение неизвестных из ряда уравнений системы.


  3. Следует ориентироваться на то, чтобы каждое элементарное преобразование обращало в нуль какой-либо элемент матрицы и при этом не изменяло все те нулевые элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.


  4. Другим ориентиром является стремление сделать равным единице определенный элемент матрицы и при этом не изменить все те единичные элементы, которые были получены при всех предыдущих преобразованиях.


      Системе  m  линейных уравнений

   (1)  

можно поставить в соответствие расширенную матрицу:

  .  (2)  

      Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.

      Действительно,
  • Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
  • Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
  • Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.

      Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

  ,  (3)  

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

      Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д. 

      Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных рассматривается в качестве свободных параметров.

      Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

  1. Предположим, что матричный элемент  a11  первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
    Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на и так далее.
    В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент  a11 .


  2. Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
    Предположим, что матричный элемент  a22  второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
    Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на и так далее.
    В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент  a22 .


  3. И так далее.


  4. В конечном итоге мы получаем матицу вида (3).