Основные понятия

Основные понятия

Равенство матриц влечет за собой попарное равенство соответствующих матричных элементов. Поэтому матричное уравнение

AX = B,

эквивалентно системе обычных уравнений.

Если, например, A и B - числовые матрицы n-го порядка, X - матрица n-го порядка, составленная из неизвестных, то матричное уравнение AX = B описывает систему n² уравнений с n² неизвестными.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Здесь

– числовые коэффициенты;

– свободные члены;

– неизвестные.

Решением системы (1) является совокупность значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы (1) обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.

Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения

AX = B,

где A – матрица, составленная из коэффициентов

при неизвестных; матрица B представляет собой столбец свободных членов; элементами матрицы X являются неизвестные

Если B = 0, то система уравнений называется однородной:

AX = 0.

Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными.
Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.