Теорема Лапласа

Теорема Лапласа

Эта теорема представляет собой обобщение теоремы о разложении определителя по элементам строки или столбца.

      Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.
      Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы A, расположенных на пересечении строк с номерами i₁ , i₂ , ..., i_k и столбцов с номерами j₁ , j₂ , ..., j_k , называется минором M k-го порядка матрицы A.

      Если из матрицы A вычеркнуть строки и столбцы с такими номерами, то определитель n–k-го порядка полученной матрицы называется дополнительным минором для минора M.

      Обозначим символом S сумму индексов, нумерующих строки и столбцы такого минора:

S = i₁ + j₁ + i₂ + j₂ + ... + i_k + j_k .

Алгебраическим дополнением минора M называется дополнительный минор для минора M, умноженный на (–1)^S.

Отметим, что алгебраическое дополнение A_i j элемента a_i j (минора первого порядка) является частным случаем алгебраического дополнения минора.

Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов), где 1 ≤k ≤ n – 1.
Тогда определитель D равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.