Блочные матрицы

Блочные матрицы

В этом разделе представлено обобщение понятия матрицы - в том смысле, что сами матрицы могут выполнять функции матричных элементов.

Примечательно, что действия над такими матрицами производятся по тем же правилам, что и действия над числовыми матрицами.

Рассмотрим прямоугольную матрицу A и рассечем ее горизонтальными и вертикальными линиями на блоки A_i j :

      Здесь A_i 1 , A_i 2 , ..., A_i k , ... - матрицы с одинаковым числом строк; A_1 j , A_2 j , ..., A_k j , ... - матрицы с одинаковым числом слолбцов.

      Представленную в таком виде матрицу A называют блочной или говорят, что матрица A разбита на блоки (клетки).

      Если размеры блоков выбраны такими, что соответствующие матричные операции определены, то действия над блочными матрицами производятся по тем же правилам, что и в случае обычных матриц (с матричными элементами, обозначенными A_i j ). Однако следует соблюдать осторожность при выборе порядка сомножителей в произведении блоков из-за некоммутативности операции умножения матриц.

      Блочная матрица называется блочно диагональной, если она по своему виду совпадает с обычной диагональной матрицей, то есть как если бы блоки A_i j представляли собой обычные матричные элементы.

      Блочная матрица называется блочно треугольной, если она по своему виду совпадает с обычной треугольной матрицей.