Треугольные, транспонированные и симметричные матрицы  
      Говорят, что матрица имеет треугольный вид, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:

   или   

Рис.1. Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.

      Треугольные матрицы обладают следующими свойствами:
  1. Сумма треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования; при этом диагональные элементы матриц складываются.
  2. Произведение треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования.
  3. При возведении треугольной матрицы в целую положительную степень ее диагональные элементы возводятся в эту же самую степень.
  4. При умножении треугольной матрицы на некоторое число ее диагональные элементы умножаются на это же самое число.


      Доказательство утверждений предоставляется читателю.
      Если в произвольной m × n матрице произвести взаимную замену строк и столбцов, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается символом  . Другими словами, строки матрицы  A  являются столбцами матрицы  , а столбцы матрицы  A  являются строками матрицы  :


      Очевидно, что

,


      Операция транспонирования произведения матриц обладает следующим свойством:
     
      Квадратная матрица A называется симметричной, если  , что означает   .

      Матрица называется кососимметричной, если  , то есть  .