Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обозначим эти вероятности как p и q. Исход  с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.

Очевидно, что

Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит  точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий

{У, У, Н, У, Н, Н, Н}

равна произведению 

.

Примеры испытаний Бернулли.

1.          Последовательные бросания “правильной” монеты. В этом случае p = q = 1/2 .

При бросании несимметричной монеты соответствующие вероятности изменят свои значения.

2.          Каждый результат опыта можно рассматривать как A или .

3.          Если существует несколько возможных исходов, то из них можно выделить группу исходов, которые рассматриваются как “успех”, называя все прочие исходы “неудачей”.

Например, при последовательных бросаниях игральной кости под “успехом” можно понимать выпадение 5, а под “неудачей” – выпадение любого другого числа очков. В этом случае  p = 1/6,  q = 5/6.

Если же под “успехом” понимать выпадение четного, а под “неудачей” – нечетного числа очков, то  p = q = 1/2 .

4.          Повторные случайные извлечения шара из урны, содержащей при каждом испытании a  белых и b черных шаров. Если под успехом понимать извлечение белого шара, то , .

Феллер[3] приводит следующий пример практического применения схемы испытаний Бернулли. Шайбы, изготовляемые при массовом производстве, могут отличаться по толщине, но при проверке они классифицируются на годные и дефектные – в зависимости от того, находится ли толщина в предписанных границах. И хотя продукция по многим причинам не может вполне соответствовать схеме Бернулли, эта схема  задает идеальный стандарт для промышленного контроля качества продукции, несмотря даже на то, что этот стандарт никогда не достигается вполне точно. Машины подвержены изменениям, и поэтому вероятности не остаются одними и теми же; в режиме работы машин имеется некоторое постоянство, в результате чего длинные серии одинаковых отклонений оказываются более вероятными, чем это было бы при действительной независимости испытаний. Однако с точки зрения контроля качества продукции желательно, чтобы процесс соответствовал схеме Бернулли, и важно то, что в некоторых пределах этого можно добиться. Целью текущего контроля является обнаружение уже на ранней стадии существенных отступлений от идеальной схемы и использование их как указаний на угрожающее нарушение правильности работы машины.