Основная задача любого количественного опыта заключается в прямом или косвенном определении значения какой-либо величины и оценке допущенной погрешности.
Ошибки измерений подразделяются на систематические, случайные и промахи.
Систематические ошибки вызываются факторами, действующими одинаково при повторении измерений,
например несоответствие эталонам реактивов или измерительных приборов. Случайные, независимые
друг от друга ошибки вызываются непредсказуемыми и потому неконтролируемыми явлениями.
Систематические ошибки можно выявить и умешить, а в некоторых случах перевести в случайные.
Для оценки точности измерений применяют статистическую (вероятностную) терию ошибок.
Распределение случайных ошибок
Проведя серию из n измерений какой-либо величины, мы получаем ряд различающихся между собой отсчетов
x1, x2, ..., xn, иначе вариант (варианта - любое численное значение в серии).
Опыт показывает, что варианты группиуются преимущественно около какго-то значения.
Число вариант, отклоняющихся от этого значения в большую или меньшую сторону, уменьшается
тем значительней чем отклонения больше. Эту закономерность описывает предельный (при n→∞) закон нормального распределения ошибок Гаусса:
В этом выражении f(x) - функция распределения вариант пр веротности попадания в интервал от
x до x+dx, параметр μ является среднеарифметическим (далее для краткости - средним) по всей совокупности измерений или генеральным средним; при при n→∞ и отсутствии систематических ошибок μ становится равным истинной измеряемой величине.
Отклонение хi-μ есть единичная абсолютная ошибка измерения; параметр σ2 называют дисперсией, корень квадратный из дисперсии σ - стандартным или среднеквадратичным отклонением; чем σ меньше, тем кучнее располагаются варианты около генерального среднего, тем уже вероятный интервал,
в котором находится истинное значение х. Площадь под кривой Гаусса в пределах n=1 до ∞ равна единице. Так как измерения при n→∞ неосуществимы, то неизвестны ни μ, ни σ2.
В любой конечной серии измерений нельзя определить точно ни истинное среднее значение , ни истинную дисперсию σ2, ни другие моменты функции распределения случайной величины. В реальном эксперименте всегда имеют дело с конечной выборкой (из генеральной совокупности) - конечным числом значений случайной величины.
Поэтому возможно получить только оценки неизвестных параметров и их погрешности, ко-торые в свою очередь являются случайными величинами.
Выборочное среднее значение x.
На практике в подавляющем большинстве случаев для оценки истинного среднего значения случайной величины используют среднее
арифметическое
где n - число независимых измерений.
С увеличением числа замеров среднее х все более приближается к истинному среднему (при при n→∞, x‾→μ, μ→xист).
Единичные измерения в серии (выборке) характеризуют средеквадратичной ошибкой:
Число выборок может быть как угодно велико. Каждая из них яляется случайной со своей средней и среднеквадраичной ошибкой среднего:
Среднеквадратичная ошибка среднего из п измерений меньше среднеквадратичной ошибки отдельного измерения в раз.
Обнаружение промахов
Некоторые измеренные в выборках величины хi, резко выпадают из ряда.
Если их отбросить, считая промахами, то среднее х и выборочная дисперсия Sn изменятся, вследствие чего могут появиться новые выпадающие числа.
Поэтому отбрасывать кажущиеся неверными отсчеты следует лишь тогда, когда вероятность случайного появления промаха достаточно мала.
Приближенно можно считать промахами те измерения, при которых .
Ошибки косвенных измерений
В большинстве случаев конечный результат представляет собой функцию нескольких независимо измеряемых переменных. Тогда суммарная ошибка является суммой ошибок отдельных измерений. Положим, что результат x = f (r, s, t,...).
Следовательно, относительная ошика результата равна:
или
Порядок вычисления погрешностей
Прямые измерения:
- составляют таблицу измерений;
- находят среднее
- находят единичныеотклонения
;
- вычисляют квадраты отклонений
;
- находят среднюю квадратичную ошибку
;
- выявляют промахи;
- исключают промахи;
- нахoдят среднеквадратичную ошибку среднего
;
- задают значение надежности α (обычно 0,95);
- выбирают из таблицы коэффициент Стьюдента при данных n и α;
- находят погрешность результата измерения
;
- записывают окончательный результат в форме
;
- находят относительную ошибку
.
Косвенные измерения:
- обрабатывают каждую серию измерений как и в случае прямых измерений с той же надежностью;
- составляют выражение погрешности согласно выводу функциональной зависиости результата;
- записывают окончательный результат в форме f(‾x) = f(‾r, ‾s, ‾t,...)±Δ‾f;
- находят относительную погрешность
.
|