ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО  ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
Томский политехнический университет
____________________________________________________________________

	"УТВЕРЖДАЮ"
	Декан АВТФ
	____________ С.А.Гайворонский 
	"_____"________________2007 г.

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ 

Методические указания к выполнению лабораторной работы
 “Цифровая фильтрация сигналов ”
для студентов специальности 010501
“Математик, системный программист”

Томск 2007

ББК 32.84.К27

Цифровая обработка сигналов и изображений. Методические указания к выполнению лабораторной работы “Цифровая фильтрация сигналов” для студентов специальности 010501 “Математик, системный программист”. - Томск: Изд-во ТПУ, 2007. –  7 c.

Составитель: 	доц., канд. техн. наук В.П. Иванченков
	аспирант А.А. Козлов

Рецензент		доц., канд. техн. наук  А.И.Кочегуров

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры прикладной математики 
“____” октября 2007г.

Зав. кафедрой, 
проф. д.ф.-м.н.__________________________ В.П.Григорьев

Лабораторная работа

Тема: Цифровая фильтрация сигналов

1.Цель работы
Цифровая фильтрация находит широкое применение при решении широкого спектра задач в различных областях науки и техники. Целью данной работы является приобретения навыков реализации цифровых фильтров и исследование их эффективности их применения на примере обработки временных последовательностей.

2.Основные теоретические положения
Линейная фильтрация является одной из основных операций обработки различных сигналов. При этом под цифровым линейным фильтром понимается линейная система с постоянными параметрами, ЛИВ-система, работающая в дискретном времени. Линейный фильтр, как ЛИВ-систему, можно определить следующим образом [1]:
,					(1)
где  определяют соответственно сигналы на входе и выходе фильтра, - характеризует весовую функцию (импульсный отклик) фильтра. В дискретном представлении выражение (1) запишется в виде дискретной свёртки импульсной характеристики  и сигнала на входе :
.					
Выражение (2) является базовым при реализации цифровой фильтрации во временной области.
Часто при обработке сигналов отдают предпочтение реализации фильтров в частотной области по сравнению с их реализацией во временной области. Переход от описания фильтрации во временной области к её описанию в частотной области осуществляется на основании теоремы свёртки [1], в соответствии с которой выражение (1) запишется:  или
,						(3)
где - оператор прямого преобразования Фурье,  и - спектры сигналов, наблюдаемых соответственно на входе и выходе фильтра,  - частотная характеристика фильтра. При этом фильтрация сигнала в частотной области реализуется в следующей последовательности:
,			(4)
где - оператор обратного преобразования Фурье. 
Одной из часто возникающих задач при проведении фильтрации вида (4) является создание фильтров, пропускающих сигналы в определённой полосе частот и задерживающих остальные частоты. При этом различают:
•	фильтры нижних частот (ФНЧ), пропускающие частоты, меньшие некоторой частоты среза ;
•	фильтры верхних частот (ФВЧ), пропускающие частоты, большие некоторой частоты среза ;
•	полосовые фильтры (ПФ), пропускающие частоты в некотором диапазоне  (они также характеризоваться средней частотой  и шириной полосы пропускания );
•	режекторные фильтры, пропускающие на выход все частоты, кроме лежащих в некотором диапазоне (они тоже могут характеризоваться средней частотой  и шириной полосы задерживания ).
Форма АЧХ фильтров этих четырёх типов показана на рис.1. Такие фильтры также называют идеальными, так как их идеальная (прямоугольная) форма АЧХ не может быть физически реализована.[3]

Рис. 1. АЧХ фильтров различного типа: а) – ФНЧ; б) – ФВЧ; в) – ПФ;
 г) – режекторный

При этом АЧХ низкочастотного фильтра может быть записана в виде: , где  - частота среза фильтра, а полосового фильтра в виде: , где  - нижняя и верхняя частоты фильтра.
Пусть исходный сигнал  задан своими  отсчётами во временной области, взятых с шагом , . Тогда последовательность (4) в дискретной форме примет вид:
.			(5)
Частотный спектр  сигнала может быть найден как дискретное прямое преобразование Фурье вида [2]:
,					(6)
или , где , - действительная и мнимая составляющие спектра, определяемые выражениями: 
,					(7)
,					(8)
где  - номер гармоники, , шаг дискретизации между частотными отсчётами выбирается из условия их некоррелируемости и предполагается равным . Спектр  на выходе дискретного фильтра с синтезированной частотной характеристикой  может быть записан в виде произведения: . Соответствующий произведению спектров, сигнал во временной области запишется в виде дискретного обратного Фурье преобразования:
,					(9)
В случае действительного сигнала на входе и учитывая, что  (свойство комплексного сопряжения спектра относительно отсчёта соответствующего верхней частоте сигнала, риc.2.), формулу (9) можно представить в виде:
.	(10)

Рис. 2. Комплексное сопряжение частотных отсчётов спектра дискретного сигнала

В (10) предполагается, что количество отсчётов сигнала чётно, в противном случае к сигналу добавляется один нулевой отсчёт.
Таким образом, при использовании формулы (9) для расчёта выходного сигнала, необходимо синтезировать частотный фильтр как в области положительных, так и отрицательных частот, используя же формулу (10) достаточно иметь отсчёты лишь в области положительных частот.

3. Задание к работе
1.	Сгенерировать последовательность  в виде выборки аддитивной смеси сигнала и шума, заданной на интервале  с шагом : , где  - полезный сигнал,  - шум с нормальным законом распределения, нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением , . Параметры сигнала принять в соответствии со своим вариантом. 
2.	В соответствии с (5) произвести фильтрацию сгенерированной последовательности. Для этих целей использовать идеальный низкочастотный или полосовой фильтр. Параметры фильтра выбрать исходя из АЧХ смеси.
3.	Построить реализации процессов на входе и выходе фильтра и их спектров.
4.	Дать анализ полученных результатов.

Таблица 1
Данные к работе
Данные к работе	№ варианта	
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
, от.ед.	1	1	2	2	4	3	3	2	4	2	
, Гц	40	30	28	26	25	28	25	24	30	28	
	60	40	35	36	40	35	32	35	40	36	
, с	0.25	0.20	0.30	0.25	0.25	0.20	0.20	0.25	0.25	0.30	
, рад	0			0	0				0		
Тип фильтра	ПФ	ФНЧ	ФНЧ	ПФ	ПФ	ФНЧ	ПФ	ФНЧ	ФНЧ	ПФ	
	
T, с	0.5	
, с	0.002	

4. Форма отчёта
1.	Задание к работе.
2.	Краткое пояснение теоретических положений.
3.	Графики процессов на входе и выходе фильтра и их спектров.
4.	Выводы.

Список литературы
1.	Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Спектральный анализ случайных процессов. – М.: Энергия, 1974. – 240 с.
2.	Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 604 с.
3.	Бендат Д., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ 

Методические указания к выполнению лабораторной работы
 “Цифровая фильтрация сигналов ”
для студентов специальности 010501
“Математик, системный программист ”

Составитель:	Иванченков Виктор Павлович
	Козлов Александр Александрович

Подписано к печати 
Формат 60х84/16.  Бумага офсетная
Печать RISO. Усл. печ. л.         . Уч. изд.             .      
Тираж  150  экз. Заказ  №         .  Цена свободная

Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.