«Линейная алгебра»

Предмет и методы математики, цели и задачи изучения математики в вузе, требования, предъявляемые к математическому образованию инженера. Матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Способы вычисления определителей. Обратная матрица, условие ее существования, способ нахождения. Матричный способ решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Понятие линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Понятие базиса конечномерного линейного пространства. Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема Кронекера-Капелли.

«Векторная алгебра».

Евклидовы пространства. Понятие модуля. Понятие геометрического вектора, его направления и длины. Выполнение линейных операций над векторами. Линейно независимые системы векторов. Понятие базиса. Понятие радиус-вектора точки и координат точки. Проекции вектора и его координаты. Линейные операции над векторами в координатной форме.

Скалярное произведение векторов, его механическая интерпретация и свойства. Вывод вычислительной формулы. Длина вектора, угол между двумя векторами, направляющие косинусы вектора.

Векторное произведение векторов, его механическая интерпретация, свойства, вывод вычислительной формулы. Смешанное произведение векторов, его свойства и метод вычисления. Условие компланарности векторов.

«Аналитическая геометрия».

Основные задачи аналитической геометрии. Способы задания линии на плоскости. Прямая линия на плоскости. Способы задания. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Нахождение угла между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение расстояния от точки до прямой. Плоскость и прямая в пространстве. Способы задания. Исследование общего уравнения плоскости. Решение основных задач на прямую и плоскость в пространстве.

Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Понятие кривых и поверхностей второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения и геометрические свойства.

«Введение в математический анализ».

Элементы математической логики, символика математической логики и ее использование.

Понятие функции одной и нескольких переменных, как моделей взаимосвязей наблюдаемых величин. Обзор простейших элементарных функций.

Основные понятия, связанные с функцией. Преобразования графиков элементарных функций.

Виды окрестностей на прямой, плоскости и в пространстве, понятие топологии. Метрические пространства. Условия принадлежности точки заданной окрестности в виде неравенств.

Общее понятие предела функции.

Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие величины. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые, их использование при вычислении пределов. Понятие порядка и главной части бесконечно малой величины. Сравнение бесконечно больших величин. Локальные свойства функции, имеющей в точке конечный предел.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Локальные свойства непрерывных в точке функций. Использование непрерывности при вычислении пределов. Виды неопределенных выражений.

Замечательные пределы и их следствия. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Понятие односторонних производных. Связь между существованием производной и непрерывностью функции в точке. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции, производная обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Понятие дифференцируемой функции и дифференциала. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Условия возрастания и убывания функции. Понятие локального экстремума. Необходимое условие экстремума. Первое достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Отыскание наименьшего и наибольшего значений непрерывной на отрезке функции.

Исследование функции на выпуклость, вогнутость и перегиб. Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

«Функции нескольких переменных».

Частные производные функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Вычислительная формула для дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные высших порядков Смешанные частные производные. Производная по направлению, градиент функций. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных на замкнутом множестве.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных.