ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (2 семестр)

по разделу НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
1. Понятие первообразной. Свойство первообразной (доказать). 
2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. 
3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной), формула интегрирования по частям. 
4. Интегрирование рациональных функций. 
5. Метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей. 
6. Интегрирование тригонометрических функций.. 
7. Интегрирование иррациональных функций. 

по разделу ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла. 
2. Свойства определенного интеграла. (Теорема о среднем, свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами). Геометрический смысл. 
3. Классы интегрируемых функций (три теоремы без док.) 
4. Теорема о первообразной непрерывной функции (об определенном интеграле с переменным верхним пределом) (доказать). 
5. Теорема Ньютона-Лейбница (доказать) 
6. Теорема об интегрировании по частям (доказать) 
7. Теорема об интегрировании методом подстановки (доказать) 
8. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе координат), длины дуги (вывод формулы в декартовой системе координат), объема тела вращения относительно оси Оx (вывод формулы). 
9. Понятие несобственного интеграла I рода. 
10. Признаки сходимости. Первый признак сравнения. Второй (предельный) признак сравнения. 
11. Понятие несобственного интеграла II рода. 
12. Признаки сравнения (без док.) 
13. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла. 

по разделу КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 
14. Понятие кратного интеграла, его геометрический и физический смысл. 
15. Необходимое условие существования кратных интегралов (без док). 
16. Классы интегрируемых функций (без док.). 
17. Свойства кратных интегралов (без док.). 
18. Формулы повторного интегрирования для вычисления кратных интегралов. 

по разделу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. 
2. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (без док). Определение общего решения ДУ. Особое решение 
3. Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах. 
4. Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение. 
5. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши ДУ порядка выше первого (без док). 
6. Понятие линейного ДУ n-го порядка. 
7. Однородные линейные ДУ n-го порядка. Теорема о свойствах решений ОЛДУ (док.). 
8. Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций. 
9. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ. 
10. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ . Понятие ФСР. 
11. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение. 
12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общего решения. Теорема о суперпозиции решений. 
13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа.