Математический анализ-4
Вопросы к коллоквиуму 2. (Все, что доказывалось на лекциях — доказывать)

1.	Комплексные числа и действия над ними. Предел последовательности. Бесконечно удаленная точка.
2.	Понятие функции комплексного переменного. Непрерывность.
3.	Ряды комплексных чисел. Степенные ряды в комплексной плоскости. Теорема Абеля.
4.	Элементарные функции комплексного переменного. Тригонометрические, гиперболические и показательная функции. Формула Эйлера.
5.	Элементарные функции комплексного переменного. Логарифмическая и общая степенная функции.
6.	Элементарные функции комплексного переменного. Обратные тригонометрические функции.
7.	Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
8.	Гармонические функции. Сопряженные гармонические функции.
9.	Интеграл в комплексной плоскости и его свойства. Кривые в комплексной плоскости.
10.	Интеграл Коши.
11.	Интеграл типа Коши. 
12.	Ряд Тейлора.
13.	Ряд Лорана.
14.	Особые точки аналитических функций. Устранимая особая точка.
15.	Особые точки аналитических функций. Полюс.
16.	Особые точки аналитических функций. Существенно особая точка.
17.	Классификация бесконечно удаленных точек аналитических функций.
18.	Аналитическое продолжение. Римановы поверхности. Полная аналитическая функция.
19.	Теория вычетов. Основная теорема теории вычетов.
20.	Теория вычетов. Вычет в полюсе порядка m.  Вычет в существенно особой точке.
21.	Теория вычетов. Вычет в бесконечно удаленной точке.
22.	Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов. Интегралы содержащие рациональные функции от тригонометрических. Несобственные интегралы от дробно-рациональных функций.
23.	Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов. Лемма Жордана. Интегралы от осциллирующих функции. Интегралы Бромвича-Вагнера.
24.	Логарифмический вычет. Основная теорема алгебры.
25.	Аналитическое продолжение. Римановы поверхности. Полная аналитическая функция.
26.	Понятие о конформных отображениях. Локальная конформность отображений задаваемых аналитической функцией. Геометрический смысл аргумента производной. Геометрический смысл модуля производной.
27.	Преобразование Лапласа. Оригиналы и изображения. Аналитичность изображений.
28.	Преобразование Лапласа. Формула Меллина. Единственность преобразования Лапласа.
29.	Преобразование Лапласа. Изображение простейших функций.
30.	Свойства преобразований Лапласа. Линейность, теоремы смещения (доказательство двух свойств).
31.	Свойства преобразований Лапласа. Теоремы подобия, дифференцирования и формула Дюамеля (доказательство двух свойств).
32.	Свойства преобразований Лапласа. Теоремы дифференцирования и интегрирования (доказательство двух свойств).
33.	Свойства преобразований Лапласа. Теоремы умножения и разложения (доказательство двух свойств).
34.	Приложения операционного исчисления. Интегрирование линейных, обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
35.	Приложения операционного исчисления. Интегрирование линейных, обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 
36.	Приложения операционного исчисления. Формула Парсеваля и вычисление несобственных интегралов. 
37.	Приложения операционного исчисления. Интеграл Дюамеля.
38.	Гамма бета функции.
39.	Преобразование Лапласа. Обобщенные оригиналы. 

Литература 
1.	Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического  анализа. - М. Наука, 1972, 1975, 1977, 1985 г
2.	Бугров Я.С.,  Никольский  С.М. Дифференциальные  уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М. Наука, 1985.
3.	Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа, 1980.
4.	Зальмеж В.Ф., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. IV. Ряды. — Томск: Изд-во ТПУ, 2006. 
5.	Терехина Л.И. , Фикс И.И  Высшая математика. Часть 4. (Учебное пособие) Томск, Дельтаплан, 2006.
6.	Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (в  2-х  томах).- М. Наука, 1960, 1968 гг
7.	Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Т.1. Основы комплексного анализа. Элементы вариационного исчисления и теории обобщенных функций. Томск: Изд. ТТЛ, 2002.— 672 с.
8.	Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973.
9.	Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы. — М.: Наука, 1971. 
10.	Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984.
11.	Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. — М.: Наука, 1973.
12.	Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1974.
13.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теория функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1976.
14.	Грищенко А.Е., Нагнибеда Н.И., Настасиев П.П. Функции комплексного переменного. Решение задач — Киев: Вища школа, 1986.
15.	Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И.   Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.  Теория  устойчивости. - М. Наука, 1981.

«trifonov@tpu.ru», «http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/a/ATRIFONOV»