Условный экстремум. Изопериметрическая задача

Рассмотрим задачи вариационного исчисления такого типа, когда на класс допустимых функций налагаются дополнительные ограничения интегрального или дифференциального типа.        Задача 1. (Изопериметрическая задача). Найти экстремум функционала    (1)          в классе функций  y(·), для которых функционал    (2)          принимает заданное значение  l, при этом  y (a) = A,  y (b) = B.        Для решения этой задачи используется метод множителей Лагранжа. Определяется вспомогательная функция (функция Лагранжа)    (3)          где  λ  - постоянная.        При некотором  λ  функция  y (x), доставляющая минимум функционалу  J (y) при условии, что  K (y) = l, удовлетворяет уравнению Эйлера для функции  F:    (4)          Решение этого уравнения зависит от двух произвольных постоянных  c1,  c2  и значения  λ, то есть  y = y (x; c1, c2; λ).        Постоянные  c1,  c2  и  λ  находятся из условий   y (a) = A,       y (b) = B,       K (y) = l.  (5)          Задача 2. Найти экстремум функционала        в классе функций y(·), для которых        где  Kj (y)  - заданные функционалы, а  lj  - известные постоянные.        Решение этой задачи проводится аналогично решению задачи 1 для функции        Задача 3. Найти экстремум функционала        в классе функций  y (x),  z (x), удовлетворяющих дифференциальному уравнению    (7)          и граничным условиям    (8)          Задача 3 также решается с помощью метода функций Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид        и отличается от функций Лагранжа в задачах 1 и 2 тем, что множитель Лагранжа  λ  является функцией, зависящей от  x.        Решение задачи находится из системы уравнений Эйлера        уравнения связи (7) и граничных условий (8).