Интегрирование четных и нечетных функций

Определенные интегралы

Геометрические приложения

Теореиа 1. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:

f(–x) = f(x).

(1)

Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:

(2)

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

(3)

Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:

(4)

Утверждение доказано.

Теореиа 2. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:

f(–x) = – f(x).

(5)

Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю:

(6)

Теорема доказывается аналогичным образом:

(7)

Конев В.В. Определенные интегралы