Конев В.В.   Пределы последовательностей и функций

| Разделы курса | Примеры | Калькулятор |      
 
| Дифференцирование | Неопределенные интегралы | Определенные интегралы | Несобственные интегралы |
Число e
  Теорема. Последовательность с общим членом    имеет конечный предел при  .

Замечание. Для обозначения этого предела используется символ e:
Число  e  является иррациональным, приближенное значение которого равно

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709…

Доказательство. Покажем сначала, что    представляет собой монотонно возрастающую последовательность. Согласно биному Ньютона,

Полагая  , получим

Аналогично,


Сравним выражения для    и  .
Во-первых, оба эти выражения содержат только положительные слагаемые.
Во-вторых, начиная со второго слагаемого, каждый член в выражении для    превышает соответствующий член выражения для  , поскольку
В-третьих, выражение для    состоит из большего числа слагаемых. Следовательно,  

Далее докажем, что последовательность    является ограниченной. Действительно, первый член любой монотонно возрастающей последовательности является ее наибольшей нижней границей и, таким образом,    для всех натуральных значений  n.

Перейдем к доказательству существования верхней границы. Очевидно, что

Кроме того,    для всех  k > 3. Тогда
Правая часть этого неравенства представляет собой сумму членов убывающей геометрической прогрессии. В качестве верхней границы этой суммы выступает любое число  . Таким образом, последовательность с общим членом
представляет собой ограниченную монотонно возрастающую последовательность и, следовательно, имеет конечный предел – согласно теореме о монотонных последовательностях.