SEARCH:

Обухов Сергей Владимирович
Кандидат физико-математических наук

Отделение естественных наук, Ассистент
написать сообщение
Расписание
Сегодня
21 октября 2019 / Monday / Неделя четная
Time tableРасписание
  
    New Tab     
Рис. 1. Изогнутая спагеттина ломается не в одном месте, а сразу в нескольких местах, причем эти разломы происходят практически одновременно. Изображение из статьи: Michael Vollmer and Klaus-Peter Möllmann, 2012.

Задача

Объясните, как так получается, что изогнутая спагеттина ломается почти одновременно в двух или более местах. Глядя на рис. 1, выясните, какой из двух разломов произошел раньше, а также в какую сторону вращается центральный обломок.

Предостережение. Эта задача довольно известная, и в сети можно найти немало страниц и видеороликов с объяснениями. Но поскольку эта задача — на физическое чутье, а не на ваши поисковые способности, мы предлагаем вам подумать над ней самостоятельно. Даже если вы уже когда-то читали про нее, постарайтесь, никуда не заглядывая, построить достаточно убедительное для себя объяснение и с его помощью ответить на второй вопрос.

Подсказка 1
Возьмем на вооружение предыдущие подсказки и представим себе описанную в них ситуацию (рис. 2). На изогнутой спагеттине произошел первый разлом. Произошел он не посередине, а где-то сбоку, там, где спагеттина наименее прочна на излом — ведь никто не гарантирует, что механические свойства спагетти будут совершенно одинаковы по всей длине и что первой поддастся именно середина. Две части, которые раньше составляли единую спагеттину и по которым передавалось механическое напряжение, теперь потеряли механический контакт друг с другом. Они оказались в очень неустойчивом состоянии — они изогнуты, но никто эту изогнутость не поддерживает с одного конца. Распрямляясь, оба конца начинают выходить из этого неустойчивого состояния.
Рис. 2. Сразу после первого разлома две неравные части спагеттины начинают выпрямляться, каждая в свою сторону

Необходимо разобраться как именно будет протекать распрямление на первых порах, какие этапы будут быстрые, а какие — медленные. Чтобы понять, как будет распрямляться изогнутый кусок спагеттины, надо «вжиться в его роль», надо почувствовать те внутренние напряжения, которые на стержень действуют при изгибе. В таком состоянии в его толще возникают деформации: во внешней части это растяжение, во внутренней — сжатие материала. Эти напряжения тем сильнее, чем больше кривизна стержня. Они действуют так, что стремятся уменьшить кривизну, выпрямить стержень. И самое важное — что эти выпрямляющие напряжения действуют не в каком-то одном месте стержня, а распределены по всей его длине. Распрямиться хочет каждый кусочек изогнутого стержня.

Пока спагеттина цельная, эти напряжения передаются по всему стержню, держатся друг за друга и, в конечном счете, упираются в пальцы, в концевые опоры. После первого разлома у каждой половинки появляется свободный конец, к которому никаких компенсирующих усилий не прикладывается. Но внутри стержня выпрямляющие напряжения по-прежнему действуют. Раз им никто уже не противоборствует, они, собственно, и начинают выпрямлять стержень, разворачивая его части друг относительно друга.

Если бы деформация была локализована только в одном месте, она бы разворачивала один конкретный участок стержня (рис. 3, слева). Чем короче торчащий кусок стержня, тем быстрее шло бы распрямление (причем зависимость эта кубическая). Но в реальной ситуации деформация распределена в стержне повсюду. Все эти выпрямляющие усилия действуют одновременно, но разворачивают они участки стержня разной длины, а значит, и справляются они с этой задачей за разное время (рис. 3, справа). Быстрее всего выпрямляется (и продолжает колебаться туда-сюда) самый кончик, а следом идут более длинные участки, и так далее — в общем, спагеттина не просто распрямляется, она деформируется.


Рис. 3. Слева: упрощенный пример, в котором выпрямляющие напряжения присутствуют только в основании, и разворачивают они стержень фиксированной длины. Справа: реальная ситуация, при которой напряжения присутствуют сразу везде и действуют на участки стержня разной длины

Совокупный эффект от всего этого движения выглядит примерно так. В самые первые мгновения после исходного разлома, стартуя со свободного конца, по спагеттине бежит волна характерной изгибной деформации, волна распрямления. Дальние части спагеттины еще не успели особо повернуться, у них кривизна какой была, такой почти и осталась, да и весь распрямившийся кусочек тоже не особо пока сдвинулся. Наложение этих движений — волна распрямления без существенного сдвига и неизменная кривизна вдалеке — приводят к тому, что на спагеттине появляется, движется и всё сильнее очерчивается бугорок повышенной кривизны (рис. 4). В какой-то момент кривизна бугорка превышает предел прочности материала и в этом месте образуется вторая трещина.


Рис. 4. Самопроизвольная деформация более длинной половинки спагеттины после первого разлома. Самый кончик быстро распрямляется, дальние участки еще не успевают существенно сдвинуться, и в результате появляется бугорок с большой кривизной, на месте которого и возникает второй разлом. Все деформации на этом рисунке преувеличены для наглядности

В принципе, разницу по времени между первым и вторым разломом можно сосчитать, но это уже будет серьезное исследование. В качестве совсем грубой оценки можно прикинуть, что длина центрального кусочка составляет несколько сантиметров, а скорость деформационных волн с такой длиной волны примерно на порядок меньше скорости звука в веществе (то есть порядка сотни метров в секунду). Поделив одно на другое, получаем время заметно меньше миллисекунды, в согласии с экспериментальным наблюдением.

Что касается движения и вращения центрального кусочка, то тут соображения такие. При первом разломе два свободных края расходятся наружу примерно с одинаковой скоростью (см. рис. 2). Это движение — результат распрямления с силой обоих концов. При возникновении второго разлома два края находятся в неравноправных условиях. Центральный распрямляющийся участок уже не испытывает таких напряжений, которые подбрасывали бы второй конец вверх. Зато этот кусочек, распрямляясь, отталкивает наружу противоположный край. Поэтому края второго разлома расходятся намного быстрее, чем первого, несмотря на то, что он начался чуть-чуть позже. Центральный кусочек движется первым разломом наружу, а вторым — вовнутрь. На рис. 1 первый разлом — справа, а второй — слева, поэтому вращается центральный кусочек по часовой стрелке. Это подтверждают и снимки последующих этапов этого эксперимента (рис. 5).


Рис. 5. Последующие этапы эксперимента, показанного на рис. 1. Изображение из статьи M. Vollmer, K.-P. Möllmann, 2012. Feynmans Rätsel der brechenden Spaghetti

2011 © Томский политехнический университет
При полном или частичном использовании текстовых и графических материалов с сайта ссылка на портал ТПУ обязательна