Задача заключается в нахождении кривой, соединяющей заданные точки A и B, при движении по которой
материальная точка скатится из точки A в точку B за кратчайшее время
(трением и сопротивлением среды пренебречь).
Решение. Поместим начало координат в точку A, ось Ox направим горизонтально, ось Oy -
вертикально вниз. Скорость движения материальной точки
откуда находим время, затрачиваемое на перемещение точки из положения A(0, 0) в положение
B (x1, y1):
Поскольку функция F (x1, x2, x3)
не зависит явно от x1, находим
и уравнение Эйлера принимает вид
Введем параметр t, полагая y' = ctg(t); тогда получаем
откуда
Обозначая c = c1 /2 и t1 = 2 t,
получаем
Так как при y = 0 величина x = 0, то c2 = 0.
Таким образом, экстремалями являются циклоиды.
Рис. 1. Арка циклоиды, которой соответствуют значения параметра t1 в пределах от 0 до 2π.
Существует нечто общее между задачей о брахостохноне и описанием траектории движения точки, расположенной на ободе катящегося без
проскальзывания колеса. Внешнее проявление этой общности проявляется в том, что при таком движении точка описывает арки циклоиды -
как это показано на рисунках:
|
