Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:
Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, следует рассматривать как свободный параметр.
Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение и выразить базисные неизвестные , и через c.
Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений:
Из последнего уравнения следует, что .
Выразим остальные базисные переменные:
Таким образом, общее решение системы найдено:
Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем
Проверка: Подставим неизвестные
в уравнения системы:
Уравнения обратились в тождества.
***
2. Пусть .
Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0.
Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:
Поскольку , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая и , получаем уклрлченную систему уравнений
решение которой имеет вид
, .
Запишем общее решение
и представим его в виде линейной комбинации частных решений:
Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа
то говорят, что частные решения образуют фундаментальную систему решений.
В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения и .
***
3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид
Очевидно, что
и поэтому частные решения
образуют фундаментальную систему решений.
***
4. Дана матрица . Решить однородную систему линейных уравнений AX = 0.
Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду: