Лемма 1   
      Пусть  A – квадратная матрица  n-го порядка.

      Утверждение. Сумма произведений  элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

  (1)
и
  (2)  

      Доказательство: Рассмотрим вспомогательную матрицу , полученную из матрицы A заменой  j-ой строки i-ой строкой:



      Произведем разложение  по элементам j-ой строки:

      Заметим, что алгебраическое дополнение элемента некоторой строки не зависит от элементов этой строки. (Потому что при вычислении алгебраического дополнения эта строка просто вычеркивается.) Однако матрицы  и A отличаются друг от друга только j-ой строкой и, следовательно, . Тогда

      Поскольку матрица  имеет две одинаковых строки, то ее определитель равен нулю.

     Таким образом, утверждение (1) доказано:

.

      Аналогично доказывается справедливость утверждения (2).