Разложение определителя по элементам строки или столбца

Разложение определителя по элементам строки или столбца

      Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца находит широкие применения в различных разделах математики.

      Теорема устанавливает, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления определителей более низкого порядка.

      По сути дела речь идет о перегруппировке слагаемых в выражении для определителя матрицы.
      В первую группу объединяются слагаемые, содержащие элемент a_i 1 в качестве общего множителя, во вторую группу - слагаемые с общим элементом a_i 2 и так далее.
      Коэффициентами элементов a_i j являются алгебраичечкие дополнения этих элементов.

Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.
Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом M_i j:

Алгебраическое дополнение A_i,j элемента a_i j определяется формулой

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.