Это свойство вытекает из определения детерминанта и выражает равноправие строк и столбцов
определителя.
Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию
определителя на это число:
.
Такое свойство определителей позволяет, в частности, выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя.
Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.
.
Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю:
.
Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю:
.
Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:
.
Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:
Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда
определитель произведения матриц равен произведению определителей:
.
.
.
.
.
.
.
