Обычно нас интересует лишь общее число успехов, достигнутых в последовательности из n испытаний Бернулли, а не порядок следования успехов. В этом смысле мы не делаем различий между событиями, состоящими, например, из последовательностей

{У, У, У, Н, Н},   {У, У, Н, У, Н},   {У, У, Н, Н, У},   {У, Н, У, У, Н}    и т.д.

Событие “n испытаний привели m раз к успеху” содержит столько элементарных событий, сколькими способами можно распределить m символов по n местам, что совпадает с числом сочетаний  из n элементов по m.

Другими словами, пространство элементарных событий состоит из  точек, каждая из которых, по определению, имеет вероятность .

Следовательно, вероятность m успехов () в серии из n испытаний Бернулли описывается формулой

                            ,                           (*)

где p – вероятность успеха;  q – вероятность неудачи в одном испытании (q = 1 – р).

Согласно существующей терминологии, число успехов в серии из n испытаний является случайной величиной, а формула (*) описывает распределение этой случайной величины и называется биномиальным законом распределения вероятности.

Заметим, что выражение  представляет собой m-ый член биномиального разложения .

Следовательно,

,

как того и требует понятие вероятности.

Выражение, содержащее произведение вида , представляет собой вероятность m успехов в серии из n испытаний Бернулли:

.

Заметим, что события

         –  0 успехов,

         –  1 успех,

         –  2 успеха,

         –  …,

         –  n успехов в серии из n испытаний Бернулли

образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместимы и вместе образуют достоверное событие.

Частные случаи.

–  Вероятность того, что в серии из n испытаний успех не наступит ни разу, равна .

–  Вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии из n испытаний равна

                                 (**)